¿Por qué exactamente tenemos un día extra en los años bisiestos?

A la Tierra le toma exactamente 365.24219 días orbitar a sol, y ese es el porqué necesitamos un año bisiesto cada 4 años.

Un año bisiesto es un año con 366 días en vez de 365. Cada 4 años, febrero tiene un día más. Esto se hace porque un año oficialmente no tiene 365 días, sino 365,25 días. Añadiendo un día cada 4 años, se soluciona este problema. 

Este día se añade para corregir el desfase que existe entre la duración del año trópico: 365 días 5 h 48 min 45,25s (365,242190402 días) y el año calendario de 365,000000000 días. Esto requiere que cada cuatro años se corrija el año calendario por una acumulación no contabilizada de aproximadamente 1/4 de día por año que equivale a un día extra.

En el calendario juliano se consideraban bisiestos los años divisibles entre cuatro. Así, el año juliano duraba 365 días + 0,25 = 365,25 días más que el año trópico, que consta de 365,242190402 días.

Según el calendario gregoriano, la regla para los años bisiestos es la siguiente:

Un año es bisiesto si es divisible entre 4, a menos que sea divisible entre 100. Sin embargo, si un año es divisible entre 100 y además es divisible entre 400, también resulta bisiesto. Obviamente, esto elimina los años finiseculares(últimos de cada siglo, que ha de terminar en 00) divisibles sólo entre 4 y entre 100.

Es decir la gran mayoría de los años que sean divisibles entre 4 son bisiestos. No lo son si su divisibilidad es entre 100 (como los años 1700, 1800, 1900 y 2100), a no ser que además sean divisibles entre 400 (como los años 1600, 2000 y 2400). En 400 años debe haber 97 años bisiestos. De esa manera el año del calendario gregoriano se mantiene muy parecido al año solar. Así el año gregoriano dura 365 días +1/4 -1/100 +1/400 = 365,2425 días (más que el año trópico, cuya duración es de 365,242198 días).'

Fuente: Wikipedia